Question

17．如图，函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．若AB和OC的长均为9，且AO＜BO．
（1）求b、c；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）先根据OC的长求出c=9，再由根与系数的关系求出b=$±\frac{3}{2}$，由AO＜OB得：抛物线的对称轴是y轴的右侧，即a、b异号，得出b的值；
（2）根据平行得相似：△ADE∽△ACB，所以面积比等于相似比的平方，则有$\frac{S}{{S}_{△ACB}}$=$\frac{A{E}^{2}}{A{B}^{2}}$，代入计算可以求出S关于m的函数关系式；
（3）根据等式S_△CDE=S_△ACE-S_△ADE求出关系式，利用二次函数求最值，以点E为圆心，与BC相切的圆的半径是：过E与BC垂直的线段EF的长，根据相似求出EF的长，代入圆的面积公式求出面积即可．

解答 解：（1）∵OC=9，
∴C（0，-9），
∴c=-9，
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵AB=9，
∴x₂-x₁=9，
∴（x₂-x₁）²=81，
∵x₁+x₂=-2b，x₁•x₂=2c=-18，
∴${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$-2x₁x₂=81，
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=81，
（-2b）²-4×（-18）=81，
b=±$\frac{3}{2}$，
∵AO＜BO，
∴抛物线的对称轴是y轴的右侧，
即a、b异号，
∵a=$\frac{1}{2}$＞0，
∴b=-$\frac{3}{2}$；
（2）S_△ACB=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×9×9=$\frac{81}{2}$，
∵ED∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{S}{{S}_{△ACB}}$=$\frac{A{E}^{2}}{A{B}^{2}}$，
∴$\frac{S}{\frac{81}{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{{9}^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$m²，其中0＜m＜9；
（3）如图，S_△CDE=S_△ACE-S_△ADE=$\frac{1}{2}$×m×9-$\frac{1}{2}{m}^{2}$，
S_△CDE=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{8}$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当m=$\frac{9}{2}$时，S有最大值，且最大值为$\frac{81}{8}$，
y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-9，
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-9=0，
解得：x=6或-3，
∴A（-3，0），
∴OA=3，
∴OE=$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$，
∴E（$\frac{3}{2}$，0），
∴BE=AB-AE=9-$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}$，
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBF=∠CBO，∠EFB=∠COB，
∴△EFB∽△COB，
∴$\frac{EF}{OC}=\frac{BE}{CB}$，
即$\frac{EF}{9}=\frac{\frac{9}{2}}{3\sqrt{13}}$，
∴EF=$\frac{27}{26}$$\sqrt{13}$，
∴⊙E的面积=π•EF²=π•（$\frac{27}{26}$$\sqrt{13}$）²=$\frac{729}{52}$π，
答：以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为$\frac{729}{52}π$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用根与系数的关系求二次函数的字母系数，明确若抛物线与x轴的两交点A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-$\frac{b}{2a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$；把函数与几何图形联系起来，在求某三角形的最值问题时，将其转化为函数问题，利用配方法或顶点坐标求最值．