如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.
专题∶压轴题. 分析∶(1)由于A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点均在坐标轴上,故设一般式解答和设交点式(两点式)解答均可. (2)分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论.运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系,再结合抛物线解析式即可求解. (3)根据抛物线上点的坐标特点,利用勾股定理求出相关边长,再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角,便可解答. 解答∶解∶(1)∵抛物线与y轴交于点C(0,3), ∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0), 根据题意,得, 解得, ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)存在. 由y=-x2+2x+3得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1. ①若以CD为底边,则PD=PC, 设P点坐标为(x,y),根据两点间距离公式, 得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2, 即y=4-x. 又P点(x,y)在抛物线上, ∴4-x=-x2+2x+3, 即x2-3x+1=0, 解得x1=,x2=<1,应舍去, ∴x=, ∴y=4-x=, 即点P坐标为. ②若以CD为一腰, ∵点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称, 此时点P坐标为(2,3). ∴符合条件的点P坐标为或(2,3). (3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理, 得CB=,CD=,BD=, ∴CB2+CD2=BD2=20, ∴∠BCD=90°, 设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中, ∵CF=DF=1, ∴∠CDF=45°, 由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3), ∴DM∥BC, ∴四边形BCDM为直角梯形, 由∠BCD=90°及题意可知, 以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况; 以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在. 综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3). 点评∶此题是一道典型的“存在性问题”,结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质,考查了它们存在的条件,有一定的开放性. |
考点∶二次函数综合题. |
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