Question

如图，在平面直角坐标系中，直线CD交x轴、y轴于点C、D，点B在x轴上，且点B、C到坐标原点O的距离的比为1：3，点D在y轴上，且AD的长为7，若tan∠OCD=3，sin∠ABO=，
（1）求A、B、C三点坐标．
（2）点E在直线CD上，点E的横坐标为-2，在直线y=x+4上存在某点P使直线PE与y轴相交所成的锐角等于∠ABO，求出点P坐标及直线PE的解析式．
（3）半径为的⊙M从原点出发，沿x轴负方向运动；半径为的⊙N从原点出发，沿y轴正方向运动，如果⊙M、⊙N同时出发 且速度相同，当⊙M与直线y=x+4相切时，试判断⊙N与②中所求的直线的位置关系；并说明理由．

Answer 1

解：（1）设OB=x，
∵点B、C到坐标原点O的距离的比为1：3，
∴OC=3x，
∵tan∠OCD=3，
∴OD=3OC=3×3x=9x，
∵sin∠ABO=，
∴tan∠ABO=2，
∴OA=2OB=2x，
∴AD=OD-OA=9x-2x=7，
解得x=1，
∴2x=2，3x=3，
点A（0，2），B（-1，0），C（-3，0）；

（2）∵OD=2+7=9，
∴点D的坐标为（0，9），
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直线CD的解析式为y=3x+9，
x=-2时，y=3×（-2）+9=3，
∴点E（-2，3），
过点E作EF⊥y轴于F，则点F（0，3），
则EF=OA=2，
∵直线PE与y轴相交所成的锐角等于∠ABO，
∴①点P在EF的上方时，直线PE与y轴的交点坐标为（0，4），
此时，设直线PE的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线EP的解析式为y=x+4，
此时，（0，4）在直线y=x+4设，
所以，点P的坐标为（0，4），
②点P在EF的下方时，直线PE与y轴的交点坐标为（0，2），
此时，设直线PE的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线EP的解析式为y=-x+2，
联立，
解得，
∴点P的坐标为（-，）；

（3）令x=0，则y=×0+4=4，
由勾股定理得，=5，
∴直线y=x+4与x轴所成角的正弦为，
∵⊙M与直线y=x+4相切，
∴CM=÷=2，
∴CM=3-2=1，
∵⊙M、⊙N同时出发 且速度相同，
∴ON=1，
∴点N到直线EP的解析式为y=-x+2的距离为：（2-1）×=，
与⊙N相切，
点N到直线EP的解析式为y=x+4的距离为：（4-1）×=＞，
与⊙N相离．
分析：（1）设OB=x，根据比例求出OC，再根据tan∠OCD=3表示出OD，根据∠ABO的正弦求出正切值，再求出OA，然后表示出AD，列方程求出x，再结合图形写出点A、B、C的坐标即可；
（2）先求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，然后求出点E的坐标，过点E作EF⊥y轴于F，再分点P在EF的上方和下方两种情况求出直线EP与y轴的交点，然后利用待定系数法求一次函数解析式，然后联立两直线解析式求出点P的坐标即可；
（3）求出直线y=x+4与x轴所成角的正弦，再根据直线与圆相切求出CM的长，然后求出OM，再根据⊙M、⊙N同时出发 且速度相同求出ON的长度确定出点N的坐标，然后求出点N到EP的距离，再根据圆与直线的位置关系解答．
点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了锐角三角三角函数，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，以及直线与圆的位置关系的判定，（2）难点在于要根据点P的位置分情况讨论，（3）根据直线与圆相切求出OM，从而得到ON的长是解题的关键．