Question

矩形一条边上的中点与对边两个端点的连线互相垂直，已知矩形的周长为30cm，那么矩形的面积为

 

．

Answer 1

分析：作出图形，根据点E是AB的中点，可得AE=DE，然后利用边角边定理证明△ABE与△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CE，又BE⊥CE，所以△BCE是等腰直角三角形，从而推出△ABE也是等腰直角三角形，得到矩形的长是宽的2本，根据周长是30cm分别求出长与宽，再利用面积公式计算即可求解．

解答：解：如图，∵E是AB的中点，
∴AE=DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
在△ABE与△DCE中，

AE=DE ∠A=∠D AB=CD

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵BE⊥CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠CBE=45°，
∴∠ABE=90°-45°=45°，
∴△ABE也是等腰直角三角形，
∴AB=AE=

1

2

AD，
∴2（AB+AD）=30，
解得AB=5cm，AD=10cm，
∴矩形的面积为：AB•AD=5×10=50cm²．
故答案为：50cm²．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的周长与面积公式，证明出矩形的长是宽的2倍是解本题的关键．