Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对

称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )

A. 1 B. C. D. 2

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值.

详解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，

因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，

所以BD＝DC.

因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，

所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，

因为∠FDC＋∠BDF＝60°，

所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，

所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，

直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4，

所以AP＝2.

当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，

CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2.

故选D.