Question

12．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF
（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是BE=2CF，位置关系是BE⊥CF（不用证明）；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；
（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点M，若∠DCF=30°，求$\frac{CM}{BM}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，证明△BCE≌△ACD，然后利用全等三角形的性质，直角三角形的性质，等量代换，即可得出BE=2CF，利用三角形外角定理，等腰三角形性质∠EGF=∠BCF+∠CBE=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，即可得到BE⊥CF；
（2）作辅助线，构建全等三角形，利用旋转的性质，找出三角形全等的条件，证明△BCE≌ACD′，再利用中位线的性质，等量代换即可得BE=2CF，利用三角形外角定理，等腰三角形性质∠BGF=∠ECG+∠BEC=∠ECG+∠DCF=∠DCE=90°，得BE⊥CF；
（3）利用（2）的结论，利用含30°角直角三角形的性质，锐角三角函数，即平行线分线段成比例定理即可．

解答 （1）解：BE⊥CF，BE=2CF．
理由：∵等腰直角△ABC，
∴BC=AC，∠BCA=90°，
同理：DC=EC，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD=90°}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
点D为线段AD的中点，∠BCA=90°，
∴CF=AF=$\frac{1}{2}$AD，
∴BE=2CF，∠ACF=∠CAD，
∴∠ACF=∠CBE，
设BE与CF交于点G，
则∠EGF=∠BCF+∠CBE=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，
∴BE⊥CF，
故答案为：BE=2CF，BE⊥CF．

（2）解：（1）中的关系仍然成立．
理由：如图2，延长DC至D′，使CD′=CD，
∵等腰直角△DCE，∴CE=CD=CD′，∠3=∠DCE=90°
同理：BC=AC，∠BCA=90；
∵∠1=∠2=α，
∴∠1+∠DCE=∠2+∠3，∠BCE=∠ACD′，
在△BCE和△ACD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD′}\\{CE=CD′}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌ACD′（SAS），
∵点F为线段AD的中点，CD′=CD，
∴AD′=2CF，CF∥AD′，
∴BE=2CF，∠DCF=∠D′，
∴∠BEC=∠DCF，
∴∠ACF=∠CBE，∠ACF=∠CAD，
设BE与CF交于点G，
则∠BGF=∠ECG+∠BEC=∠ECG+∠DCF=∠DCE=90°，
∴BE⊥CF．

（3）解：设BE与CF交于点G，
∵∠DCE=90°，∠DCF=30°，
∴∠GCE=60°，
∵BE⊥CF，
∴∠MGC=∠EGC=90°，
设MG=x，
在Rt△CMG中，∠DCF=30°，
∴$CM=2x，CG=\sqrt{3}$x．
在Rt△CEG中，∠GCE=60°，
∴CE=2$\sqrt{3}$x，EG=3x，
∴$CD=CE=2\sqrt{3}x$，ME=MG+EG=x+3x=4x，
∴DM=CD-CM=2$\sqrt{3}$x-2x=（2$\sqrt{3}$-2）x，
∵等腰直角△DCE，
∴∠CDE=45°，
∵∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠BCD，
∴DE∥BC，
∴$\frac{CM}{BM}$=$\frac{DM}{EM}$=$\frac{（2\sqrt{3}-2）x}{4x}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

点评 本题考查等腰三角形性质，全等三角形性质及判定，直角三角形性质及平行线分线段成比例定理的综合运用，找出全等条件，构建全等三角形是解决此题的关键．