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12.已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,C为它们的公共直角顶点,连接AD、BE,F为线段AD的中点,连接CF
(1)如图1,当点D在BC边上时,BE与CF的数量关系是BE=2CF,位置关系是BE⊥CF(不用证明);
(2)如图2,把△DEC绕点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),其他条件不变,问(1)中的关系是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出相应的正确的结论并加以证明;
(3)如图3,把△DEC绕点C顺时针旋转45°,BE、CD交于点M,若∠DCF=30°,求$\frac{CM}{BM}$的值.

分析 (1)利用等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定,证明△BCE≌△ACD,然后利用全等三角形的性质,直角三角形的性质,等量代换,即可得出BE=2CF,利用三角形外角定理,等腰三角形性质∠EGF=∠BCF+∠CBE=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°,即可得到BE⊥CF;
(2)作辅助线,构建全等三角形,利用旋转的性质,找出三角形全等的条件,证明△BCE≌ACD′,再利用中位线的性质,等量代换即可得BE=2CF,利用三角形外角定理,等腰三角形性质∠BGF=∠ECG+∠BEC=∠ECG+∠DCF=∠DCE=90°,得BE⊥CF;
(3)利用(2)的结论,利用含30°角直角三角形的性质,锐角三角函数,即平行线分线段成比例定理即可.

解答 (1)解:BE⊥CF,BE=2CF.
理由:∵等腰直角△ABC,
∴BC=AC,∠BCA=90°,
同理:DC=EC,
在△BCE和△ACD中,
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD=90°}\\{DC=EC}\end{array}\right.$,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴BE=AD,∠CBE=∠CAD,
点D为线段AD的中点,∠BCA=90°,
∴CF=AF=$\frac{1}{2}$AD,
∴BE=2CF,∠ACF=∠CAD,
∴∠ACF=∠CBE,
设BE与CF交于点G,
则∠EGF=∠BCF+∠CBE=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°,
∴BE⊥CF,
故答案为:BE=2CF,BE⊥CF.

(2)解:(1)中的关系仍然成立.
理由:如图2,延长DC至D′,使CD′=CD,
∵等腰直角△DCE,∴CE=CD=CD′,∠3=∠DCE=90°
同理:BC=AC,∠BCA=90;
∵∠1=∠2=α,
∴∠1+∠DCE=∠2+∠3,∠BCE=∠ACD′,
在△BCE和△ACD′中,
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD′}\\{CE=CD′}\end{array}\right.$,
∴△BCE≌ACD′(SAS),
∵点F为线段AD的中点,CD′=CD,
∴AD′=2CF,CF∥AD′,
∴BE=2CF,∠DCF=∠D′,
∴∠BEC=∠DCF,
∴∠ACF=∠CBE,∠ACF=∠CAD,
设BE与CF交于点G,
则∠BGF=∠ECG+∠BEC=∠ECG+∠DCF=∠DCE=90°,
∴BE⊥CF.

(3)解:设BE与CF交于点G,
∵∠DCE=90°,∠DCF=30°,
∴∠GCE=60°,
∵BE⊥CF,
∴∠MGC=∠EGC=90°,
设MG=x,
在Rt△CMG中,∠DCF=30°,
∴$CM=2x,CG=\sqrt{3}$x.
在Rt△CEG中,∠GCE=60°,
∴CE=2$\sqrt{3}$x,EG=3x,
∴$CD=CE=2\sqrt{3}x$,ME=MG+EG=x+3x=4x,
∴DM=CD-CM=2$\sqrt{3}$x-2x=(2$\sqrt{3}$-2)x,
∵等腰直角△DCE,
∴∠CDE=45°,
∵∠BCD=45°,
∴∠CDE=∠BCD,
∴DE∥BC,
∴$\frac{CM}{BM}$=$\frac{DM}{EM}$=$\frac{(2\sqrt{3}-2)x}{4x}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

点评 本题考查等腰三角形性质,全等三角形性质及判定,直角三角形性质及平行线分线段成比例定理的综合运用,找出全等条件,构建全等三角形是解决此题的关键.

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