Question

1．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH⊥AP交AP与H，AB=2$\sqrt{2}$，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=4-2$\sqrt{2}$、2$\sqrt{2}$或2．

Answer 1

分析 分HD=HC、DH=DC以及CH=CD三种情况考虑：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，由△CDH为等腰三角形找出点H为AP的中点，再结合DH⊥AP可得出AD=DP，设BP=a，利用勾股定理即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出结论；②当DH=DC时，利用勾股定理可求出AH的长度，进而得出∠DAH=45°，由平行线的性质可得出∠APB=45°，进而得出△ABP为等腰直角三角形，即BP=AB；③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，根据等腰三角形的性质即可得出DF=AF=$\frac{1}{2}$AD，由DH⊥CF、DH⊥AP即可得出CF∥AP，结合AF∥CP即可得出四边形AFCP为平行四边形，进而得出AF=CP，再根据平行线的性质即可得出AF的长度，结合BC的长度以及AF=CP即可求出BP的长度．

解答 解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．
∵HD=HC，
∴点E为CD的中点，
∵EF∥AD，
∴FH为△ABP的中位线，
∴AH=HP．
∵DH⊥AP，
∴△DAP为等腰三角形，
∴AD=DP．
设BP=a，则CP=4-a，
由勾股定理得：DP²=CD²+CP²，即16=8+（4-a）²，
解得：a=4-2$\sqrt{2}$，或a=-4-2$\sqrt{2}$（舍去）；
②当DH=DC时，如图2所示．
∵DC=AB=2$\sqrt{2}$，
∴DH=2$\sqrt{2}$．
在Rt△AHD中，AD=4，DH=2$\sqrt{2}$，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AH=DH，
∴∠DAH=∠ADH=45°．
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAH=45°，
∵∠B=90°，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴BP=AB=2$\sqrt{2}$；
③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．
∵CH=CD，CE⊥DH，
∴DE=HE=$\frac{1}{2}$DH．
∵DH⊥CF，DH⊥AP，
∴CF∥AP，
∵AF∥CP，
∴四边形AFCP为平行四边形，
∴AF=CP．
∵EF∥AH，DE=HE，
∴DF=AF=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴BP=BC-CP=BC-AF=4-2=2．
综上所述：BP的长度为4-2$\sqrt{2}$、2$\sqrt{2}$或2．
故答案为：4-2$\sqrt{2}$、2$\sqrt{2}$或2．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是分HD=HC、DH=DC以及CH=CD三种情况考虑，解决该题型题目时，注意思考的全面性是重中之重．