Question

8．【特例发现】如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．
【延伸拓展】如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．
【深入探究】如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．
【应用推广】在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；
求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．

Answer 1

分析 特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；
延伸拓展：②易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=$\frac{1}{k}$AG，FQ=$\frac{1}{k}$AG，即可求解；
深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=$\frac{1}{k}$AG，△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=$\frac{1}{k}$AG，再判断△EPH≌△FQH，即可；
应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可．

解答 ●特例发现
解：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，
∴∠PEA=∠GAB，
∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，
∴△PEA≌△GAB，
∴PE=AG
同理，△QFA≌△GAC，
∴FQ=AG，
∴PE=FQ；
●延伸拓展
  
∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，
∴∠PEA=∠GAB，
∴∠EPA=∠AGB，
∴△PEA∽△GAB，
∴$\frac{PE}{AG}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵AB=kAE，
∴$\frac{PE}{AG}$=$\frac{AE}{kAE}$，
∴PE=$\frac{1}{k}$AG，
同理，△QFA∽△GAC，
∴$\frac{FQ}{AG}$=$\frac{AF}{AC}$，
∵AC=kAF，
∴FQ=$\frac{1}{k}$AG，
∴PE=FQ；
●深入探究
 如图2，

在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，
∵∠EAP+∠BAG=180°-∠AGB，
∠ABG+∠BAG=180°-∠AGB，
∴∠EAP=∠ABG，
∵∠EPA=∠AGB，
∴△APE∽△BGA，
∴$\frac{PE}{AG}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵AB=kAE，
∴PE=$\frac{1}{k}$AG，
由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°-∠AGB，
同理可得，△AQF∽△CGA，
∴$\frac{FQ}{AG}$=$\frac{AF}{AC}$，
∵AC=kAF，
∴FQ=$\frac{1}{k}$AG，
∴EP=FQ，
∵EP∥FQ，
∴∠EPH=∠FQH，
∵∠PHE=∠QHF，
∴△EPH≌△FQH，
∴HE=HF；
●应用推广
如图3，

在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，
∴AE=AF，
∵∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC
∴∠EAB+∠FAC=180°
∴∠EAF=360°-（∠EAB+∠FAC）-∠BAC=60°，
∴△AEF为正三角形．
又H为EF中点，
∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，
∴∠EHM=∠FHN．
∵∠AEF=∠AFE，
∴△HEM∽△HFN，
∴$\frac{HM}{HN}=\frac{EH}{FN}$，
∵EH=FH，
∴$\frac{HM}{HN}=\frac{FH}{FN}$，且∠MHN=∠HFN=60°，
∴△MHN∽△HFN，
∴△MHN∽△HFN∽△MEH，
在△HMN中，∠MHN=60°，
根据三角形中大边对大角，
∴要MN最小，只有△HMN是等边三角形，
∴∠AMN=60°，
∵∠AEF=60°，
MN∴MN∥EF，
∵△AEF为等边三角形，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN_min=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$×2=1．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查全等三角形的性质和判定相似三角形的判定和性质，特殊三角形的性质，根据条件判定三角形全等和相似是解本题的关键．