Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若，AC=8，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）根据题意连结OD，利用切线的判定定理证明∠ODE=90°即可；

（2）根据题意连结AD，利用余弦值求得CD，进而利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求得DE的长．

解：（1）证明：如图，连结OD．

∵OC=OD，AB=AC，

∴∠1=∠C，∠C=∠B，

∴∠1=∠B．

∵DE⊥AB，

∴∠2+∠B=90°，∠2+∠1=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE为⊙O的切线．

（2）连结AD，如上图．

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°．

，

∴CD=6．

∵AB=AC，

∴BD=CD=6．

由勾股定理得AD=，

∵∠C=∠B，∠DEB=∠ADC=90°，

∴△BDE∽△CAD

.