Question

已知：如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径OA与小圆相交于点B，AC与小圆相切于点C，OC的延长线与大圆相交于点D，AC与BD相交于点E．
求证：（1）BD是小圆的切线；
      （2）CE：AE=OC：OD．

Answer 1

证明：（1）∵AC与小圆O相切于点C，
∴∠ACO=90°；
∵OD=OA，OB=OC，∠O=∠O，
∴△DOB≌△AOC，
∴∠DBO=∠ACO=90°，
∵OB是小圆的半径，
∴BD是小圆的切线；

（2）∵△AOC≌△DOB，
∴∠A=∠D；
又∵∠EBA=∠DBO=90°，
∴△ABE∽△DBO，∴BE：AE=OB：OD；
∵EB、EC与小圆分别相切于B、C，
∴CE=BE；
又∵OC=OB，
∴CE：AE=OC：OD．

分析：

（1）欲证BD是小圆的切线，只需证明∠OBD=90°（或BD⊥OB）即可；
（2）由（1）中全等三角形△AOC≌△DOB的性质、切线BD的性质推知△ABE∽△DBO；然后根据相似三角形的对应边成比例求得BE：AE=OB：OD；由小圆的两条切线CE=BE，小圆的半径OC=OB可以证得结论．
点评：本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．注意，切线性质是：圆的切线垂直于经过切点的“半径”．