Question

若关于x的一元二次方程x²+2kx+（k²+2k-5）=0有两个实数根，分别是x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若有x₁+x₂=x₁x₂，则k的值是多少．

Answer 1

解：（1）∵方程x²+2kx+（k²+2k-5）=0有两个实数根，
∴△≥0，即4k²-4（ k²+2k-5 ）≥0，
∴-8k+20≥0
∴k≤；
（2）∵x₁+x₂=-2k，x₁x₂=k²+2k-5，
而x₁+x₂=x₁x₂，
∴-2k=k²+2k-5，即k²+4k-5=0
解得k₁=-5，k₂=1，
又∵k≤，
∴k=-5或1．
分析：（1）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△≥0，即4k²-4（ k²+2k-5 ）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x₁+x₂=-2k，x₁x₂=k²+2k-5，而x₁+x₂=x₁x₂，则得到关于k的一元二次方程-2k=k²+2k-5，即k²+4k-5=0，解方程得k₁=-5，k₂=1，在满足（1）的条件下即可得到k的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系．