Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，并写出证明．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出点D的坐标，从而可得出k的值；
（2）根据三角形的面积公式和点D，E在函数的图象上，可得出S_△OCD=S_△OAE，再由点D为BC的中点，可得出S_△OCD=S_△OBD，即可得出结论．

解答 解：∵OA=6，OC=3，点D为BC的中点，
∴D（3，3）．
∴k=3×3=9，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{9}{x}$；

（2）S_△OCD=S_△OBE，
理由是：∵点D，E在函数的图象上，
∴S_△OCD=S_△OAE=$\frac{9}{2}$，
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
∴S_△OBE=9-$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴S_△OCD=S_△OBE．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的特征以及矩形的性质，是一道综合题，难度中等．