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    15．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的顶点A（$\sqrt{3}$，0），C（0，1），∠OAC=30°，将△AOC沿AC翻折得△APC．
    （1）求点P的坐标；
    （2）若抛物线y=-$\frac{4}{3}$x2+bx+c经过P、A两点，试判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
    （3）设（2）中的抛物线与矩形0ABC的边BC交于点D，与x交于另一点E，点M在x轴上运动，N在y轴上运动，若以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．

    分析 （1）利用翻折变换的性质得出OA=AP=$\sqrt{3}$，∠PAC=∠OAC=30°，则∠PAO=60°．过P作PQ⊥OA于Q，解Rt△PAQ，求出AQ、PQ的长，进而可得到点P的坐标；
    （2）将P、A两点的坐标代入抛物线的解析式中，得到b、c的值，从而确定抛物线的解析式，然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；
    （3）根据抛物线的解析式易求得D、E点的坐标，然后分两种情况考虑：
    ①DE是平行四边形的对角线，由于CD∥x轴，且C在y轴上，若过D作直线CE的平行线，那么此直线与x轴的交点即为M点，而N点即为C点，D、E的坐标已经求得，结合平行四边形以及平移的性质即可得到点M的坐标，而C点坐标已知，即可得到N点的坐标；
    ②DE是平行四边形的边，由于A在x轴上，过A作DE的平行线，与y轴的交点即为N点，而M点即为A点；根据平行四边形以及平移的性质即可得到N点的坐标；
    同理，由于C在y轴上，且CD∥x轴，过C作DE的平行线，也可找到符合条件的M、N点，解法同上．

    解答 解：（1）∵矩形OABC的顶点A（$\sqrt{3}$，0），C（0，1），
    ∴OA=$\sqrt{3}$，OC=1，∠AOC=90°，
    ∴∠OAC=30°．
    ∵将△AOC沿AC翻折得△APC，
    ∴OA=AP=$\sqrt{3}$，∠PAC=∠OAC=30°，
    ∴∠PAO=60°．
    过P作PQ⊥OA于Q．
    ∵在Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=$\sqrt{3}$，
    ∴AQ=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PQ=$\sqrt{3}$AQ=$\frac{3}{2}$，
    ∴OQ=OA-AQ=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    ∴P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

    （2）∵抛物线y=-$\frac{4}{3}$x2+bx+c经过P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），A（$\sqrt{3}$，0），
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{3}×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}b+c=\frac{3}{2}}\\{-\frac{4}{3}×（\sqrt{3}）^{2}+\sqrt{3}b+c=0}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{c=1}\end{array}\right.$；
    即y=-$\frac{4}{3}$x2+$\sqrt{3}$x+1；
    ∵当x=0时，y=1，
    ∴C（0，1）在该抛物线的图象上；

    （3）①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD∥x轴，
    过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，EM=CD．
    把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，1），
    把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
    ∵EM=CD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
    ∴M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）；N点即为C点，坐标是（0，1）；

    ②若DE是平行四边形的边，
    过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，AN∥DE，AN=DE．
    ∵D（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，1），E（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
    ∴D点向左平移$\sqrt{3}$个单位，再向下平移1个单位得到点E，
    ∴点A（$\sqrt{3}$，0）向左平移$\sqrt{3}$个单位，再向下平移1个单位得到点N，
    ∴N（0，-1），M点即为A点，M（$\sqrt{3}$，0）；
    同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMED是平行四边形，
    ∴M（-$\sqrt{3}$，0），N（0，1）．

    点评 此题是二次函数综合题，其中涉及到矩形的性质、图形的翻折变换、解直角三角形、二次函数解析式的确定、平行四边形的判定和性质、平移的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．

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