Question

9．如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点．M是BD上一点，且满足DM=DC，点E是AC与BD的交点．
（1）求证：CM∥AD；
（2）如果AD=1，CM=2．求线段BD的长及△BCE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC是正三角形，得出∠ADB=∠BDC=60°，再根据DM=DC，得到DM=CM=CD，最后根据∠ADB=∠DMC=60°，可判定CM∥AD；
（2）先根据△ADC≌△BMC，得出BD=3，再根据△ADE∽△CME，得到DE=$\frac{2}{3}$，ME=$\frac{4}{3}$，且AE=$\frac{1}{3}$AC，最后判定△ABE∽△DCE，得出$\frac{DC}{AB}$=$\frac{EC}{BE}$，即$\frac{2}{AB}$=$\frac{\frac{2}{3}AC}{1+\frac{4}{3}}$，求得AB=$\sqrt{7}$=BC，根据AE：CE=AD：CD=1：2，可得CE=$\frac{2}{3}$AC，最后根据△BCE的面积=$\frac{2}{3}$×△ABC的面积，求得S_△BCE即可．

解答 解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠ADB=∠BDC=60°，
又∵DM=DC，
∴△CDM是等边三角形，即DM=CM=CD，
∴∠DMC=60°，
∴∠ADB=∠DMC=60°，
∴CM∥AD；

（2）∵∠DAC=∠DBC，∠BMC=∠ADC=120°，而AC=BC，
∴△ADC≌△BMC，
∴BM=AD=1，
∴BD=BM+MD=1+2=3，
由（1）可得，△ADE∽△CME，而AD=1，CM=2，
∴$\frac{AD}{CM}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{DE}{ME}$=$\frac{1}{2}$，
又∵MD=2，
∴DE=$\frac{2}{3}$，ME=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，且点E在线段AC上，
∴AE=$\frac{1}{3}$AC，
∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ABD=∠ACD，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{DC}{AB}$=$\frac{EC}{BE}$，
∴$\frac{2}{AB}$=$\frac{\frac{2}{3}AC}{1+\frac{4}{3}}$，
又∵AB=AC，
∴AB²=7，即AB=$\sqrt{7}$=BC，
∵AD=1，CM=2，CM=CD，
∴AD：CD=1：2，
又∵∠ADE=∠CDE=60°，
∴BD平分∠ADC，
∴AE：CE=AD：CD=1：2，
∴CE=$\frac{2}{3}$AC，
∴△BCE的面积=$\frac{2}{3}$×△ABC的面积=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{7}$）²=$\frac{7}{6}\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质以及角平分线的性质的综合应用，解决问题的关键是根据全等三角形的性质以及相似三角形的性质进行求解．