Question

20．如图，点B在线段AC上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若线段AC=15，BC=$\frac{2}{5}$AC，则线段MN的长为$\frac{9}{2}$
（2）若B为线段AC上任一点，满足AC-BC=m，其它条件不变，求MN的长；
（3）若原题中改为点B在直线AC上，满足AC=a，BC=b，（a≠b），其它条件不变，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）先求得BC的长，再根据点M、N分别是AC、BC的中点，即可得到线段MN的长；
（2）先根据点M、N分别是AC、BC的中点，得到CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，再根据MN=CM-CN进行计算即可；
（3）分三种情况进行讨论：点B在线段AC上，点B在AC的延长线上，点B在CA的延长线上，分别根据点M、N分别是AC、BC的中点，依据线段的和差关系进行计算即可．

解答 解：（1）∵AC=15，BC=$\frac{2}{5}$AC，
∴BC=6，
又∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{15}{2}$，CN=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴MN=CM-CN=$\frac{15}{2}$-3=$\frac{9}{2}$；
故答案为：$\frac{9}{2}$；

（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=CM-CN=$\frac{1}{2}$AC-$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（AC-BC）=$\frac{1}{2}$m；

（3）当点B在线段AC上时，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=CM-CN=$\frac{1}{2}$AC-$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（AC-BC）=$\frac{1}{2}$（a-b）；
当点B在AC的延长线上时，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=CM+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{1}{2}$（a+b）；
当点B在CA的延长线上时，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=CN-CM=$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（BC-AC）=$\frac{1}{2}$（b-a）．

点评 本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是运用分类讨论思想，依据线段的和差关系进行计算．