Question

14．如图，在?ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN和DM相交于点P，BN和CM相交于点Q，请思考下列问题：
（1）判断图中有几个平行四边形，并试着说明理由；
（2）试说明PQ与MN互相平分．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=DC，AB∥CD，由已知条件得出DN=CN=$\frac{1}{2}$DC，AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，得出DN=CN=AM=BM，证出四边形AMND、四边形BMNC、四边形AMCN、四边形DMBN是平行四边形，得出AN∥CM，DM∥BN，证出四边形PNQM是平行四边形；
（2）证明四边形PNQM为平行四边形，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可得出结论．

解答 （1）解：图中有6个平行四边形，分别是?ABCD，?AMND、?BMNC、?AMCN、?DMBN、?PNQM；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∵M、N分别是AB、CD的中点，
∴DN=CN=$\frac{1}{2}$DC，AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，
∴DN=CN=AM=BM，
∴四边形AMND、四边形BMNC、四边形AMCN、四边形DMBN是平行四边形，
∴AN∥CM，DM∥BN，
∴四边形PNQM是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∵M、N分别是AB、CD的中点，
∴DN=CN=$\frac{1}{2}$DC，AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，
∴DN∥BM，DN=BM，
∴四边形DMBN是平行四边形，
∴PM∥NQ，
同理：PN∥MQ，
∴四边形PNQM为平行四边形，
∴PQ与MN互相平分．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．