Question

16．已知抛物线y=-x²+4x-3经过A（1，0），B（3，0），点C（0，-3），在抛物线上是否存在一点P，使得∠PCB＞∠ACB，若存在，求出P点的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 分点P在点A左侧和右侧考虑．①观察图形可知，当点P在点A的左侧且不于点C重合时，∠PCB＞∠ACB，由此可得出x＜0或0＜x＜1；②当点P在点A的右侧时，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′B，连接CA′交抛物线与点E，根据点A的坐标可找出点A′的坐标，由点C、A′的坐标利用待定系数法可求出直线A′C的解析式，再联立直线A′C和抛物线解析式成方程组，通过解方程组即可得出点E的坐标，结合图形即可找出当x＞113时，∠PCB＞∠ACB．综上即可得出结论．

解答 解：分两种情况考虑：
①当点P在点A左侧且不于点C重合时，观察图形可知，∠PCB＞∠ACB，
∴x＜0或0＜x＜1；
②当点P在点A的右侧时，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′B，连接CA′交抛物线与点E，如图所示．
∵点B（3，0），点C（0，-3），点A（1，0），
∴∠OBC=45°，AB=3-1=2．
∵点A、A′关于BC对称，
∴AB=A′B，∠ABC=∠A′BC，
∴∠ABA′=2∠ABC=90°，
∴A′（3，-2）．
设直线A′C的解析式为y=kx+b（k≠0），
将C（0，-3）、A′（3，-2）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线A′C的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-3．
联立直线A′C和抛物线解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-3}\\{y={-x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{11}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{16}{9}}\end{array}\right.$，
∴点E（$\frac{11}{3}$，-$\frac{16}{9}$），
∴当x＞$\frac{11}{3}$时，∠PCB＞∠ACB．
综上所述：在抛物线上是否存在一点P，使得∠PCB＞∠ACB，P点的横坐标的取值范围为x＜0或0＜x＜1或x＞$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及等腰三角形的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．