Question

如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，则按要求完成下列题目．
（1）四边形EFGH是

平行四边

形；
（2）四边形ABCD应满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）连接BD，再利用三角形中位线定理可得FG∥BD，FG=

1

2

BD，EH∥BD，EH=

1

2

BD．进而得到FG∥EH，且FG=EH，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出结论；
（2）菱形是邻边相等的平行四边形．由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，所以只需四边形ABCD的对角线相等即可证得平行四边形EFGH是菱形．

解答：（1）解：如图，连接BD．
∵F，G分别是BC，CD的中点，
所以FG∥BD，FG=

1

2

BD．
∵E，H分别是AB，DA的中点．
∴EH∥BD，EH=

1

2

BD．
∴FG∥EH，且FG=EH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
故填：平行四边；

（2）AC=BD．
理由如下：如图，连AC．
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=

1

2

BD，HG=

1

2

AC，
∴当AC=BD时，FG=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．

点评：此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．