Question

12．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$d的图象都经过点A（-2，6）和点B（4，n）．
（1）求着两个函数的解析式
（2）求直线AB关于y轴的对称直线l的函数解析式
（3）直线l与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象是否交点？如果有交点，求出交点的坐标，如果没有交点，可将直线l向上平移多少个单位后，正好与反比例函数的图象有一个交点？

Answer 1

分析 （1）将点A（-2，6）代入y=$\frac{m}{x}$于是得到反比例函数的解析式为y=$\frac{-12}{x}$，将B（4，n）代入y=-$\frac{12}{x}$求得B（4，-3），将A，B代入y=kx+b得解方程组即可得到；
（2）设直线AB交x轴于N，交y轴于M，则M（0，3），N（2，0）
求得点N关于y轴的对称点N′（-2，0），解方程组即可得到结论；
（3）令$\frac{3}{2}$x-3=-$\frac{12}{x}$，化简得x²+2x+8=0，由于△=2²-32＜0，得到直线l与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象无交点，设将直线l向上平移m个单位后，正好与反比例函数的图象有一个交点，则$\frac{3}{2}$x+3+m=-$\frac{12}{x}$有唯一解解方程得到m=-3+6$\sqrt{2}$，即可得到结论．

解答 解：（1）将点A（-2，6）代入y=$\frac{m}{x}$得m=-12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{-12}{x}$，
将B（4，n）代入y=-$\frac{12}{x}$得n=-3，
∴B（4，-3），
将A，B代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{6=-2k+b}\\{-3=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3；
（2）如图，设直线AB交x轴于N，交y轴于M，则M（0，3），N（2，0）
∴点N关于y轴的对称点N′（-2，0），直线l过M，N′两点，
设直线l的解析式为y=k₁x+b₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=3}\\{-2{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{b}_{1}=3}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+3；

（3）令$\frac{3}{2}$x-3=-$\frac{12}{x}$，化简得x²+2x+8=0，
∴△=2²-32＜0，
∴方程无解，
∴直线l与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象无交点，
设将直线l向上平移m个单位后，正好与反比例函数的图象有一个交点，则$\frac{3}{2}$x+3+m=-$\frac{12}{x}$有唯一解，
∴方程3x²+2（3+m）x+24=0有两个不为零的相等根，
∴△₁=4（3+m）²-3×4×24=0，解得：m=-3±6$\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=-3+6$\sqrt{2}$，
∴将直线l向上平移（-3+6$\sqrt{2}$）个单位，正好与反比例函数的图象有一个交点．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的解析式和交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．