Question

18．已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴交x轴于点E．
（1）顶点D的坐标为（1，-4a）（用含a的式子表示）；
（2）连接AC、CD、AD、BC，求△ACD与△ABC的面积之比；
（3）若点C（0，-3），点M为抛物线上的点，过M作直线CD的垂线，垂足为N，且使得∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）将y=a（x-3）（x+1）配方，写成顶点式为y=a（x²-2x-3）=a（x-1）²-4a，即可确定顶点D的坐标；
（2）根据点A、D的坐标求得直线AD的方程，易求直线AD与y轴的交点H的坐标，然后结合三角形的面积公式进行解答；
（3）分两种情况进行讨论：（i）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x-3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；
（ii）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴该抛物线的解析式可设为y=a（x-3）（x+1）=a（x-1）²-4a，
∴顶点D的坐标为（1，-4a）．
故答案是：（1，-4a）；

（2）设直线AD交y轴于点H．
由（1）知，该抛物线的解析式为y=a（x-1）²-4a，则C（0，-3a）．
由A（-1，0），D（1，-4a）易得直线AD的解析式为：y=-2ax-2a．
则H（0，-2a）．
所以HC=a．
又∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•|{y}_{C}|}{\frac{1}{2}CH•|{x}_{A}-{x}_{D}|}$=$\frac{\frac{1}{2}×4×4a}{\frac{1}{2}×a×（1+1）}$=6，即△ACD与△ABC的面积之比是1：6．

（3）（i）当点M在对称轴右侧时．
若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2CN．
设CN=b，则MN=2b．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=$\sqrt{2}$b，
∴MF=MN+NF=3b，
∴MG=FG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$b，
∴CG=FG-FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
∴M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，-3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）．
代入抛物线y=（x-3）（x+1），解得a=$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，
∴M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）；
若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=$\sqrt{2}$a，
∴MF=MN-NF=b，
∴MG=FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
∴CG=FG+FC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$b，
∴M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，-3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$b）．
代入抛物线y=（x-3）（x+1），解得b=5$\sqrt{2}$，
∴M（5，12）；
（ii）当点M在对称轴左侧时．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，
∴点M不存在．
综上可知，点M坐标为（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（5，12）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（3）中进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．