Question

3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l₁与经过点A的直线l₂相交于点B，点B的坐标为（18，6）．在x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线分别交直线l₁、l₂于点C、D，直线l₂与x轴交于点E．
（1）求直线l₁、l₂的表达式；
（2）若线段CD长为15，求此时a的值；
（3）若S_△OBD=$\frac{a}{2}{S}_{△AOB}$，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出函数解析式，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把P点代入两条直线的解析式，根据CD之间的距离是15，列出方程解答即可；
（3）设点P（a，0），过点P作x轴的垂线分别交直线l₂于点D₁、D₂，进一步利用S_△OBD=$\frac{a}{2}$S_△AOB，列出方程解答即可．

解答 解：（1）设直线l₁的表达式为y=k₁x，
∵过点B（18，6），
∴18k₁=6，
解得：k₁=$\frac{1}{3}$，
∴直线l₁的表达式为y=$\frac{1}{3}$x；
设直线l₂的表达式为y=k₂x+b，
∵过点A （0，24），B（18，6）
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=24}\\{18{k}_{2}+b=6}\end{array}\right.$，解得：k₂=-1，b=24，
∴直线l₂的表达式y=-x+24；
（2）∵在x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线分别交直线l₁、l₂于点C、D，
∴点C坐标为（a，$\frac{1}{3}$a），点D坐标为（a，-a+24），
∴$\frac{1}{3}$a-（-a+24）=15或-a+24-$\frac{1}{3}$a=15，
解得：a=$\frac{117}{4}$或a=$\frac{27}{4}$；
（3）设点P（a，0），
由题意：$\frac{a}{2}$×$\frac{1}{2}$×24×18=$\frac{1}{2}$×24×18-$\frac{1}{2}$×24×a，或$\frac{a}{2}$×$\frac{1}{2}$×24×18=$\frac{1}{2}$×24×a-$\frac{1}{2}$×24×18，
解得a=1.8 或a=-$\frac{9}{4}$（舍弃）
所以P点坐标为（-1.8，0）．

点评 此题考查两条直线的交点问题，三角形的面积计算，待定系数法求函数解析式，求得两条直线的交点坐标与分类探讨得出答案即可．