Question

6．如图，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．设AP=x．当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式及定义域．

Answer 1

分析 过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，根据矩形的性质和直角三角形的性质，可证明△QNP≌△PMB，可证明PQ=PB，设AP=x，结合PQ=PB可分别表示出AM、BM、CQ和PN，可表示出△PBC和△PCQ的面积，从而表示出四边形PBCQ的面积，从而得到y与x的关系式．

解答 解：过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，如图1，

则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，
∴NP=NC=MB．
∵∠BPQ=90°，
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°
在△QNP和△PMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QPN=∠PBM}\\{NP=MB}\\{∠QNP=∠PMB}\end{array}\right.$，
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴NQ=MP；
设AP=x，则AM=MP=NQ=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，BM=PN=CN=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴CQ=CD-DQ=1-2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1-$\sqrt{2}$x
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•BM=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
S_△PCQ=$\frac{1}{2}$CQ•PN=$\frac{1}{2}$×（1-$\sqrt{2}$x）（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x+$\frac{1}{2}$x²，
∴S_{四边形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+1，
即y=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+1（0≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查四边形的综合应用，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识．构造三角形全等和用x分别表示出△PBC和△PCQ的面积是解题的关键．