Question

20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-$\frac{3}{2}$且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B，连结BC．
（1）填空：点A、点B和点C的坐标分别为A（-4，0），B（1，0），C（0，2）；
（2）求证：△AOC∽△COB；
（3）求抛物线解析式；
（4）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连结PA，PC，求△PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求的直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；
（2）由点的坐标得出OA=4，OB=1，OC=2，证出$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OC}$，再由∠AOC=∠COB=90°，即可得出△AOC∽△COB；
（3）设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x-1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（4）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=-$\frac{1}{2}$m²-2m，然后利用三角形的面积公式可求得S_△PAC=$\frac{1}{2}$×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2}$x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-$\frac{3}{2}$，
∴点B的坐标为1，0）；
故答案为：（-4，0），（1，0），（0，2）．
（2）∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴OA=4，OB=1，OC=2，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OC}$，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；
（3）∵抛物线y=ax²+bx+c过A（-4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=-4a
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．
（4）设P（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）
=-$\frac{1}{2}$m²-2m，
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}$×PQ×4，
=2PQ=-m²-4m=-（m+2）²+4，
∴当m=-2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（-2，3）．

点评 本题是二次函数综合题目，主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．