Question

（2013•滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．

Answer 1

分析：连接OE，DE，则根据圆周角定理可得：DE⊥BC，由AB=AC，可得∠C=∠B，继而可得∠CEF+∠OEB=90°，由切线的判定定理即可得出结论．

解答：解：方法一：
连接OE，DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∵∠FEC+∠C=90°，
∴∠FEC+∠OEB=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O半径，
∴直线EF是⊙O的切线．

方法二：连接OE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∴∠C=∠OEB，
∴EO∥AC，
∵∠AFE=90°，
∴∠OEF=90°，
∴直线EF是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理及等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，利用等角代换得出∠OEF为直角，难度一般．