Question

17．如图，在△ABC中，已知∠CAB=60°，AB∥CD．
（1）请用尺规作图，在图中直接作出∠CAB的平分线交CB于点E，交CD于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求出∠AFC的度数；
（3）在（1）的条件下，若AF⊥CB，试确定AB和CF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的尺规作图方法，进行画图即可得到AF；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠AFC=∠BAF=30°；
（3）根据等角对等边，得出AB=AC，CF=AC，即可得到AB=CF．

解答 解：（1）如图所示，AF即为所求；

（2）∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠BAF=30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFC=∠BAF=30°；
（3）AB=CF．
理由：∵AF⊥CB，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠ABE=∠ACE，
∴AB=AC，
∵∠CAE=∠BAE=∠AFC，
∴CF=AC，
∴AB=CF．

点评 本题主要考查了角平分线的作图以及三角形内角和定理的运用，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．