【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D的切线分别交AB,AC的延长线于E,F,连接BD.
(1)求证:AF⊥EF;
(2)若AC=6,CF=2,求⊙O的半径.
【答案】
(1)证明:
如图1,连接OD,
∵EF是⊙O的切线,且点D在⊙O上,
∴OD⊥EF,
∵OA=OD,
∴∠DAB=∠ADO,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAB=∠DAC,
∴∠ADO=∠DAC,
∴AF∥OD,
∴AF⊥EF
(2)解:
如图2,过D作DG⊥AE于点G,连接CD,
∵∠BAD=∠DAF,AF⊥EF,DG⊥AE,
∴BD=CD,DG=DF,
在Rt△ADF和Rt△ADG中
∴Rt△ADF≌Rt△ADG(HL),
同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG,
∴BG=CF=2,AG=AF=AC+CF=6+2=8,
∴AB=AG+BG=8+2=10,
∴⊙O的半径OA= AB=5
【解析】(1)如图1,连接OD,根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得OD⊥EF,由AD平分∠BAC可得∠DAB=∠DAC,结合已知可得∠ADO=∠DAC,用平行线的性质可得AF∥OD,所以AF⊥EF。
(2)如图2,过D作DG⊥AE于点G,连接CD,根据斜边直角边定理可证Rt△ADF≌Rt△ADG,Rt△CDF≌Rt△BDG,所以有BG=CF,AG=AF=AC+CF,则AB=AG+BG,⊙O的半径OA= AB.
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【题目】下列命题中,正确的个数是 ( )
①若三条线段的比为1:1:,则它们组成一个等腰直角三角形;②两条对角线相等的平行四边形是矩形;③对角线互相垂直的四边形是菱形;④有两个角相等的梯形是等腰梯形;⑤一条直线与矩形的一组对边相交,必分矩形为两个直角梯形。
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】如图,已知抛物线与直线交于,两点,点是抛物线上,之间的一个动点,过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若为的中点,求的长;
(3)如图,以,为边构造矩形,设点的坐标为,
①请求出,之间的关系式;②求出矩形的周长最大时,点的坐标.
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【题目】某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学,在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元,且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同.
(1)求这种笔和本子的单价;
(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子,计划100元刚好用完,并且笔和本子都买,请列出所有购买方案.
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【题目】一次函数y1=kx+b和y2=﹣4x+a的图象如图所示,且A(0,4),C(﹣2,0).
(1)由图可知,不等式kx+b>0的解集是 ;
(2)若不等式kx+b>﹣4x+a的解集是x>1.
①求点B的坐标;
②求a的值.
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【题目】两艘专业救援船A,B同时收到信息,前往被困船只C所在海域实施救援任务,被困船只C位于救援船A的北偏东60°的方向上,位于救援船B的北偏西30°的方向上,船B在船A正东方向120海里处.
(1)求被困船只C到A、B两船所在直线的距离;
(2)若救援船A,救援船B分别以60海里/时,50海里/时的速度同时出发,匀速直线前往救援,试通过计算判断哪艘船先到达C处?
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【题目】某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC, EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.3米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米?(结果精确到0.1.参考数据:sin 37° ≈ 0.60,cos 37° ≈ 0.80,tan 37° ≈ 0.75)
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【题目】题目:某校七年级学生乘车去参加社会实践活动,若每辆客车乘50人,还有12人不能上车;若每辆客车乘55人,则最后一辆空了8个座位,求该校租这种客车的辆数:
根据题意,小明、小红分别列出了尚不完整的方程如下:
小明列出不完整的方程为
小红列出不完整的方程为
(说明:其中“”表示运算符号,“”表示数字):
(1)小明所列方程中表示的意义是________________________;
小红所列方程中表示的意义是___________________________;
(2)选择两位同学的其中一位学生的做法,将其补充完整,并完整地解答这道题.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为点E,F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N.
(1)如图1,若CE=CF,求证:DE=DF;
(2)如图2,在∠EDF绕点D旋转的过程中:
①探究三条线段AB,CE,CF之间的数量关系,并说明理由;
②若CE=4,CF=2,求DN的长.
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