Question

3．在直角坐标系中，直线a向上平移2个单位后所得直线b经过点A（0，3），直线b绕点A顺时针旋转90°后所得直线经过点B（$\sqrt{3}，0$），则直线a的解析式为（　　）

• A． y=-$\sqrt{3}x+3$
• B． y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$
• C． y=$\sqrt{3}x+1$
• D． y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$

Answer 1

分析 依照题意画出图形，根据点A、B的坐标结合解直角三角形求出∠ABO的度数和AB得长度，再通过解直角三角形求出BC的长度，从而找出点C的坐标．设直线b的解析式为y=kx+3，由点C的坐标利用待定系数法即可得出直线b的解析式，利用平移的特性即可求出直线a的解析式，此题得解．

解答 解：依照题意画出图形，如图所示．

∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（$\sqrt{3}$，0），
∴OA=3，OB=$\sqrt{3}$．
在Rt△AOB中，OA=3，OB=$\sqrt{3}$，∠AOB=90°，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，∠ABO=60°，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵∠ABO+∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°．
在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=2$\sqrt{3}$，∠ABC=30°，
∴BC=$\frac{AB}{cos∠ABC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4．
∴点C的坐标为（$\sqrt{3}$，4）．
设直线b的解析式为y=kx+3，
∵点C（$\sqrt{3}$，4）在直线b上，
∴4=$\sqrt{3}$k+3，解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线b的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，将b向下平移两个单位后得到的直线a的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3-2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．
故选D．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换以及解直角三角形，解题的关键是求出直线b的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用解直角三角形求出点的坐标，进而找出直线b的解析式是关键．