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16.如图①,在平面直角坐标系中,A(a,0),C(b,4),且满足(a+4)2+$\sqrt{b-4}$=0,过C作CB⊥x轴于B.
(1)求三角形ABC的面积.
(2)若线段AC与y轴交于点Q(0,2),在y轴上是否存在点P,使得三角形ABC和三角形QCP的面积相等,若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若过B作BD∥AC交y轴于D,且AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB,如图②,求∠AED的度数.

分析 (1)根据非负数的性质即可解决问题.
(2)设P点坐标为(0,y),根据S△PQC=S△ABC=16列出方程即可解决问题.
(3)如图2中:过点E作EF∥AC,首先证明∠AED=∠CAE+∠BDE,再根据∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB,∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ODB,由AC∥BD,得∠ODB=∠AQD,所以∠AED=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠ODB)=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠AQD),由此即可解决问题.

解答 解:(1)∵(a+4)2+$\sqrt{b-4}$=0,
又∵(a+4)2+≥0,$\sqrt{b-4}$≥0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4=0}\\{b-4=0}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$,
∴A(-4,0),C(4,4),B(4,0),
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$×8×4=16.

(2)设P点坐标为(0,y),
∵Q(0,2),
∴PQ=|y-2|,
当S△PQC=S△ABC=16时,
$\frac{1}{2}$•|y-2|×4=16,
解得y=10或-6,
∴P(0,10)或(0,-6).

(3)如图2中:过点E作EF∥AC,

∵AC∥BD
∴EF∥BD
∴∠CAE=∠AEF,∠EDB=∠DEF
∴∠CAE+∠EDB=∠AEF+∠DEF
∴∠AED=∠CAE+∠BDE
∵AE、DE分别平分∠CAB和∠ODB
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB,∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ODB,
∵AC∥BD
∴∠ODB=∠AQD
∴∠AED=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠ODB)=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠AQD)=$\frac{1}{2}$×90°=45°.

点评 本题考查三角形综合题、非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识,解题的关键是灵活运用这些知识,学会利用方程的思想思考问题,学会添加常用辅助线,记住一些基本图形、基本结论,属于中考常考题型.

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