Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．线段CM的长度记作y甲，线段BP的长度记作y乙，y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示．

（1）由图2可知，点M的运动速度是每秒　 cm；当t＝　 秒时，四边形PQCM是平行四边形？在图2中反映这一情况的点是　 （并写出此点的坐标）；

（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；

（3）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2，，E（，）；（2）y＝t2﹣8t+40；（3）存在，t＝s时，点M在线段PC的垂直平分线上．

【解析】

（1）先由图2判断出点M的速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，再由四边形PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
（2）根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知△BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8-t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；
（3）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．

（1）由图2得，点M的运动速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，

∵四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，

∴AP：AB＝AM：AC，

∵AB＝AC，

∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，

解得：t＝，

∴当t＝时，四边形PQCM是平行四边形，此时，图2中反映这一情况的点是E（，）

故答案为：2，，E（，）．

（2）∵PQ∥AC，

∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t，

∴，即

解得：BF＝t，

∴FD＝BD﹣BF＝8﹣t，

又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，

∴y＝（PQ+MC）FD＝（t+10﹣2t）（8﹣t）＝t2﹣8t+40．

（3）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC，

过M作MH⊥AB，交AB与H，如图所示：

∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，

∴△AHM∽△ADB，

∴

又∵AD＝6，

∴

∴HM＝t，AH＝t，

∴HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t，

在Rt△HMP中，MP2＝（t）2+（10﹣t）2＝t2﹣44t+100，

又∵MC2＝（10﹣2t）2＝100﹣40t+4t2，

∵MP2＝MC2，

∴t2﹣44t+100＝100﹣40t+4t2，

解得 t1＝，t2＝0（舍去），

∴t＝s时，点M在线段PC的垂直平分线上．