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    （2011•桃江县模拟）如图，已知抛物线F1：y=x2-2x+2，的顶点为P，与y轴的交点为A，与直线OP交于另一点B，将抛物线F1向右平移
    1
    2
    个单位，再向下平移
    5
    4
    个单位得抛物线F2，抛物线F2与x轴相交于D、C两点（D在C的左边）．
    （1）求直线OP及抛物线F2的函数关系式；
    （2）连接AC，探究OB与AC的关系，并说明理由；
    （3）在直线OB上是否存在点Q，使△DCQ的周长最小？若存在，求Q点的坐标和△DCQ周长的最小值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）化成顶点式，即可求出P的坐标，根据平移性质求出F2的顶点坐标，即可得出抛物线的解析式；
    （2）设B（a，b），得出a=b，代入y=x2-2x+2求出B的坐标，解方程x2-3x+2=0求出C的坐标，根据坐标得出正方形OCBA，根据正方形性质求出即可；
    （3）作D关于OP的对称点D′，求出D′的坐标，连接D′C交OP于Q，则Q为所求，求出直线CD′的解析式，求出直线CD′和直线OP的交点坐标，即可得出Q的坐标，根据勾股定理求出CD′的长，即可求出三角形的周长．
    解答：（1）解：∵F1：y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
    ∴P（1，1），
    设直线OP的解析式为y=kx，
    ∴1=1×k，
    即k=1，
    ∴直线OP的解析式为：y=x，
    ∵F1的顶点坐标为P（1，1），
    ∴F2的顶点坐标为（
    3
    2
    ，-
    1
    4
    ），
    ∴F2的解析式为：y=(x-
    3
    2
    )    2    -
    1
    4
    ，
    即为：y=x2-3x+2，
    答：直线OP的解析式是y=x，抛物线F2的函数关系式是y=(x-
    3
    2
    )    2    -
    1
    4
    ．
     
    （2）解：设B（a，b），
    ∵直线OP：y=x与x轴的夹角是45°，
    ∴a=b，
    ∵B在抛物线y=x2-2x+2上，
    ∴a=a2-2a+2，解得：a1=2，a2=1（舍去），
    ∴B（2，2），
    又∵解方程x2-3x+2=0得：x1=1，x2=2，
    ∴D（1，0），C（2，0），
    ∵A（0，2），
    ∴OA=AB=BC=OC=2，
    ∵∠AOC=90°，
    ∴四边形OCBA为正方形，
    ∴OB=AC，OB⊥AC，OB与AC互相平分．

    （3）解：作D点关于直线OP的对称点D′，连接D′C交OP于Q，
    则Q为所求的点，
    ∵OP平分∠AOC，
    ∴D′的坐标是（0，1），
    ∴DD′=
    		2
    ，
    设直线CD′的解析式是y=kx+1，
    把C（2，0）代入得：k=-
    1
    2
    ，
    ∴y=-
    1
    2
    x+1，
    ∵直线OP的解析式是y=x，代入得：x=-
    1
    2
    x+1，
    x=
    2
    3
    ，
    即Q的坐标是（
    2
    3
    ，
    2
    3
    ），
    ∵D、D′关于直线OP对称，
    ∴DQ=D′Q，
    ∴DQ+CQ=D′Q+CQ=CD′=
    		CO2+OD′2
    =
    		22+12
    =
    		5
    ，
    ∴△DCQ的周长的最小值是DQ+CQ+CD=
    		5
    +（2-1）=
    		5
    +1．
    点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质和判定，勾股定理，解二元一次方程组，解一元二次方程，二次函数的三种形式等知识点的应用，主要考查学生综合运用这些性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
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