Question

已知：如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，K为半圆上的一点，且

AE

=

AK

，连接EK交AG于点B，求证：AB=BE．

Answer 1

分析：先连接AF，由于EF是直径，那么∠EAF=90°，于是∠AFE+∠AEF=90°，又根据AG⊥EF，易得∠EAG+∠AEG=90°，根据同角的余角相等可知∠AFE=∠EAG，而

AE

=

AK

，易得∠AEK=∠AFE，等量代换可得∠AEK=∠EAG，于是AB=BE．

解答：证明：连接AF，如右图，
∵EF是直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵AG⊥EF，
∴∠AGE=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AFE=∠EAG，
∵

AE

=

AK

，
∴∠AEK=∠AFE，
∴∠AEK=∠EAG，
∴AB=BE．

点评：本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．