Question

（2006•临汾）如图，网格中每个小正方形的边长均为1．在AB的左侧，分别以△ABC的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分．
（1）图中△ABC是什么特殊三角形？
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）作出阴影部分关于AB所在直线的对称图形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据轴对称的知识可得，△ABC是等腰直角三角形；
（2）先求以AC，BC，AB为直径的半圆面积分别为S₁，S₂，S₃，再求S_阴影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃即可；
（3）以AB为对称轴，作图即可．
解答：解：（1）∵四边形ADCE时正方形，
∴∠DAC=45°，
同理∠CBA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形；（2分）

（2）设以AC，BC，AB为直径的半圆面积分别为S₁，S₂，S₃；
解法1：在等腰直角三角形ABC中，
∵AB=8，由勾股定理，可得AC=BC=4．
∴S_阴影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃（3分）
=π（2）²+π（2）²+×（4）²-π×4²，
=16．（5分）
解法2：S_阴影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃（3分）
=π（）²+π（）²+S_△ABC-π（）²，
=π（AC²+BC²-AB²）+S_△ABC．（4分）
在Rt△ABC中，由勾股定理知，AC²+BC²=AB²，
∴S_阴影=S_△ABC=×8×4=16．（5分）

（3）作图正确（如右图）．（8分）
点评：本小题主要考查勾股定理、轴对称图形、中心对称图形的知识，考查动手操作、面积的计算及审美能力．