【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC边的中点,以AD为直径作⊙O,分别与AB,AC交于点E,F,过点E作EG⊥BC于G.
(1)求证:EG是⊙O的切线;
(2)若AF=6,⊙O的半径为5,求BE的长.
【答案】(1)见解析;(2)8
【解析】
(1)先判断出EF是⊙O的直径,进而判断出OE∥BC,即可得出结论;
(2)先根据勾股定理求出AE,再判断出BE=AE,即可得出结论.
(1)证明:如图,连接EF,
∵∠BAC=90°,
∴EF是⊙O的直径,
∴OA=OE,
∴∠BAD=∠AEO,
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点,
∴AD=BD,
∴∠B=∠BAD,
∴∠AEO=∠B,
∴OE∥BC,
∵EG⊥BC,
∴OE⊥EG,
∵点E在⊙O上,
∴EG是⊙O的切线;
(2)∵⊙O的半径为5,
∴EF=2OE=10,
在Rt△AEF中,AF=6,
根据勾股定理得, ,
由(1)知OE∥BC,
∵OA=OD,
∴BE=AE=8.
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【题目】对于平面直角坐标系中的任意一点,给出如下定义:经过点且平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫做点的“特征线”.例如:点的特征线是和.
(1)若点的其中一条特征线是,则在、、三个点中,可能是点的点有_______;
(2)已知点的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与轴相交于点,直线经过点,且与轴交于点.使的面积不小于6,求的取值范围;
(3)已知点,,且的半径为1.当与点的特征线存在交点时,直接写出的取值范围.
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【题目】在△ABC中,以AB边上的中线CD为直径作圆,如果与边AB有交点E(不与点D重合),那么称为△ABC的C﹣中线弧.例如,如图中是△ABC的C﹣中线弧.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC存在C﹣中线弧,其中点A与坐标原点O重合,点B的坐标为(2t,0)(t>0).
(1)当t=2时,
①在点C1(﹣3,2),C2(0,2),C3(2,4),C4(4,2)中,满足条件的点C是 ;
②若在直线y=kx(k>0)上存在点P是△ABC的C﹣中线弧所在圆的圆心,其中CD=4,求k的取值范围;
(2)若△ABC的C﹣中线弧所在圆的圆心为定点P(2,2),直接写出t的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,AB,CD,EF,GH是正方形OPQR边上的线段,点M在其中某条线段上,若射线OM与x轴正半轴的夹角为α,且sinα>cosα,则点M所在的线段可以是( )
A.AB和CDB.AB和EFC.CD和GHD.EF和GH
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,BC=15,tan∠A=点P为AD边上任意一点,连结PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上,则PB旋转到PQ所扫过的面积____(结果保留π)
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【题目】五张完全相同的卡片的正面分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形,将其背面朝上放在桌面上,从中随机抽取一张,所抽取的卡片上的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的概率是( )
A.B.C.D.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧).
(1)求点A和点B的坐标;
(2)若点P(m,n)是抛物线上的一点,过点P作x轴的垂线,垂足为点D.
①在的条件下,当时,n的取值范围是,求抛物线的表达式;
②若D点坐标(4,0),当时,求a的取值范围.
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【题目】如图,在ABCD中,AC,BD交于点O,且AO=BO.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)∠ADB的角平分线DE交AB于点E,当AD=3,tan∠CAB=时,求AE的长.
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