Question

已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．
（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状是

 

，此时

AD

BC

=

 

；
（2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算

AD

BC

的值（用含α的式子表示）；
（3）在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于AB=OB，CD=OC，∠ABO=∠DCO，且∠ABO=60°，则△AOB和△COD都为等边三角形，又A、O、C三点在同一直线上，则△PMN为等边三角形，AD=BC．
（2）连接BM、CN，由于△ABO与△MPN都为等腰三角形，且证得∠MPN=∠ABO，则△PMN∽△BAO，

AD

BC

的值可在Rt△BMA中求得．
（3）结合图形，直接可写出△COD绕点O旋转后PM的最大值．

解答：解：（1）连接BM，CN，
∵△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=60°，
∴△AOB与△COD是等边三角形，
又∵点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点，
∴BM⊥AC，CN⊥BD，∠MBO=

1

2

∠ABO=∠NCO=

1

2

∠OCD=30°，
∴PM=PN=

1

2

BC，
∴∠PBM=∠PMB，∠PCN=∠PNC，
∵∠BAO=∠DCO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠MBP+∠BCN=180°-∠ABM-∠DCN=120°，
∴∠BPM+∠NPC=360°-2（∠MBP+∠BCN）=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴PM=PN=MN，
∵AD=2MN，BC=2PM，
∴

AD

BC

=1．

（2）证明：连接BM、CN．
由题意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α．
∵A、O、C三点在同一直线上，
∴B、O、D三点在同一直线上．
∴∠BMC=∠CNB=90°．
∵P为BC中点，
∴在Rt△BMC中，PM=

1

2

BC．
在Rt△BNC中，PN=

1

2

BC，
∴PM=PN．
∴B、C、N、M四点都在以P为圆心，

1

2

BC为半径的圆上．
∴∠MPN=2∠MBN．
又∵∠MBN=

1

2

∠ABO=α，
∴∠MPN=∠ABO．
∴△PMN∽△BAO．
∴

MN

PM

=

AO

BA

．由题意，MN=

1

2

AD，又PM=

1

2

BC．
∴

AD

BC

=

MN

PM

．
∴

AD

BC

=

AO

BA

．
在Rt△BMA中，

AM

AB

=sinα．
∵AO=2AM，
∴

AO

BA

=2sinα．
∴

AD

BC

=2sinα．

（3）

5

2

．
当OC∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值．
PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=

5

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及等边三角形的确定条件，综合性强，较为复杂．