Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且AE=AH=CF=CG，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为S．
（1）求S与x的函数表达式；
（2）当x为何值时，S的值最大？求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系．
（2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．

解答 解：（1）因为△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，
所以y=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△EFB=6×8-2×$\frac{1}{2}$x²-2×$\frac{1}{2}$（8-x）（6-x）=-2x²+14x（0＜x≤6）．
（2）y=-2x2+3x=-2（x-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{49}{2}$．
所以当x=$\frac{7}{2}$时，y_max=$\frac{49}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键．