分析 首先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围,然后令t=x-3,则-2≤t≤2,得到y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$=$\sqrt{2+t}$+$\sqrt{2-t}$,从而得到-2<t<0时,y随着t的增大而增大;当0<t<2时y随着t的增加而减小,最后根据其单调性确定最值即可.
解答 解:∵y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$,
∴x-1≥0且5-x≥0,
∴1≤x≤5,
令t=x-3,则-2≤t≤2,
∴y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$=$\sqrt{2+t}$+$\sqrt{2-t}$,
∴当-2<t<0时,y随着t的增大而增大;当0<t<2时y随着t的增加而减小,
∴t=0,即x=3,y最大值=2$\sqrt{2}$;
t=2和-2,即x=1和5,y最小值=2.
点评 本题考查了无理函数的最值,特别是确定自变量的取值范围是解答本题的关键,将题目中的等式两边平方是解决无理函数的一种重要方法,难度偏大.
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