Question

12．已知y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$（x，y均为实数），求当x取何值时，y分别有最大值和最小值．

Answer 1

分析 首先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围，然后令t=x-3，则-2≤t≤2，得到y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$=$\sqrt{2+t}$+$\sqrt{2-t}$，从而得到-2＜t＜0时，y随着t的增大而增大；当0＜t＜2时y随着t的增加而减小，最后根据其单调性确定最值即可．

解答 解：∵y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$，
∴x-1≥0且5-x≥0，
∴1≤x≤5，
令t=x-3，则-2≤t≤2，
∴y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$=$\sqrt{2+t}$+$\sqrt{2-t}$，
∴当-2＜t＜0时，y随着t的增大而增大；当0＜t＜2时y随着t的增加而减小，
∴t=0，即x=3，y_最大值=2$\sqrt{2}$；
t=2和-2，即x=1和5，y_最小值=2．

点评 本题考查了无理函数的最值，特别是确定自变量的取值范围是解答本题的关键，将题目中的等式两边平方是解决无理函数的一种重要方法，难度偏大．