Question

已知：如图，直线AB经过⊙O上C点，OA=OB，CA=CB．⊙O的直径为4，AB=8．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）求OB的长及sinA的值．

Answer 1

分析：（1）结合所学知识，根据等腰三角形的性质，可得OC⊥AB，因为C是圆上一点，即可得AB是⊙O的切线．
（2）这问主要利用勾股定理和正余弦的应用．先利用勾股定理得出OB的长，再利用正弦知识即可得出sinA的值．

解答：（1）证明：连接OC；
∴OA=OB，CA=CB，
∵OC⊥AB，
∵AB是⊙O的切线．

（2）解：由（1）可得
OC⊥AB，且平分；
故有BC=4，OC=2，
在Rt△OBC中，可得OB=2

5

即sinB=

OC

OB

= 

5

5

；
有∠A=∠B，
即sinA=

5

5

．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时这道题目也考查了勾股定理的实际应用和正弦知识的掌握．属于简单的综合题目，可供学生练习使用．