Question

2．如图①，直线y=$\frac{4}{3}$x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F₁交x轴于另一点B（1，0）．
（1）求抛物线F₁所表示的二次函数的表达式；
（2）若点M是抛物线F₁位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S_{四边形MAOC}和S_△BOC，记S=S_{四边形MAOC}-S_△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；
（3）如图②，将抛物线F₁沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F₂，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式；
（2）由于M在抛物线F₁上，所以可设M（a，-$\frac{4}{3}$a²-$\frac{8}{3}$a+4），然后分别计算S_{四边形MAOC}和S_△BOC，过点M作MP⊥x轴于点P，则S_{四边形MAOC}的值等于△APM的面积与梯形POCM的面积之和．
（3）由于没有说明点P的具体位置，所以需要将点P的位置进行分类讨论，当点P在A′的右边时，此情况是不存在；当点P在A′的左边时，此时∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似，则分为以下两种情况进行讨论：①$\frac{DA′}{PA′}$=$\frac{AC}{AB′}$；②$\frac{DA′}{PA′}$=$\frac{AB′}{AC}$．

解答 解：（1）令y=0代入y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴x=-3，
A（-3，0），
令x=0，代入y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴y=4，
∴C（0，4），
设抛物线F₁的解析式为：y=a（x+3）（x-1），
把C（0，4）代入上式得，a=-$\frac{4}{3}$，
∴y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4，

（2）如图①，设点M（a，-$\frac{4}{3}$a²-$\frac{8}{3}$a+4）
其中-3＜a＜0
∵B（1，0），C（0，4），
∴OB=1，OC=4
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB•OC=2，
过点M作MP⊥x轴于点P，
∴MP=-$\frac{4}{3}$a²-$\frac{8}{3}$a+4，AP=a+3，OP=-a，
∴S_{四边形MAOC}=$\frac{1}{2}$AP•MP+$\frac{1}{2}$（MP+OC）•OP
=$\frac{1}{2}$AP•MP+$\frac{1}{2}$OP•MP+$\frac{1}{2}$OP•OC
=$\frac{1}{2}MP（AP+OP）$+$\frac{1}{2}OP•OC$
=$\frac{1}{2}MP•OA$+$\frac{1}{2}OP•OC$
=$\frac{1}{2}$×3（-$\frac{4}{3}$a²-$\frac{8}{3}$a+4）+$\frac{1}{2}$×4×（-a）
=-2a²-6a+6
∴S=S_{四边形MAOC}-S_△BOC
=（-2a²-6a+6）-2
=-2a²-6a+4
=-2（a+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{2}$
∴当a=-$\frac{3}{2}$时，
S有最大值，最大值为$\frac{17}{2}$
此时，M（-$\frac{3}{2}$，5）；

（3）如图②，由题意知：M′（$\frac{3}{2}，5$），B′（-1，0），A′（3，0）
∴AB′=2，
设直线A′C的解析式为：y=kx+b，
把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令x=$\frac{3}{2}$代入y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴y=2
∴$D（\frac{3}{2}，2）$
由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=$\frac{5}{2}$
设P（m，0）
当m＜3时，
此时点P在A′的左边，
∴∠DA′P=∠CAB′，
当$\frac{DA′}{PA′}$=$\frac{AC}{AB′}$时，△DA′P∽△CAB′，
此时，$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$（3-m），
解得：m=2，
∴P（2，0）
当$\frac{DA′}{PA′}$=$\frac{AB′}{AC}$时，△DA′P∽△B′AC，
此时，$\frac{5}{2}$=$\frac{2}{5}$（3-m）
m=-$\frac{13}{4}$，
∴P（-$\frac{13}{4}$，0）
当m＞3时，
此时，点P在A′右边，
由于∠CB′O≠∠DA′E，
∴∠AB′C≠∠DA′P
∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，
综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（-$\frac{13}{4}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数最值问题，相似三角形的判定与性质等知识内容，综合程度较大，需要学生灵活运用所学知识解决问题．另外对于动点问题，通常可以用一参数m来表示该动点．