【题目】已知:m,n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积.
【答案】(1)y=﹣x2﹣4x+5;(2)15.
【解析】
(1)首先解方程求得m和n的值,得到A和B的坐标,然后利用待定系数法即可求得解析式;
(2)首先求得C和D的坐标,作DE⊥y轴于点E,根据S△BCD=S梯形OCDE﹣S△DEB﹣S△OBC求解.
解:(1)解方程x2﹣6x+5=0,
解得:x1=1,x2=5,
则m=1,n=5.
A的坐标是(1,0),B的坐标是(0,5).
代入二次函数解析式得: ,
解得:,
则函数的解析式是y=﹣x2﹣4x+5;
(2)解方程﹣x2﹣4x+5=0,
解得:x1=﹣5,x2=1.
则C的坐标是(﹣5,0).
y=﹣x2﹣4x+5=﹣(x2+4x+4)+9=﹣(x+2)2+9
则D的坐标是(﹣2,9).
作DE⊥y轴于点E,则E坐标是(0,9).
则S梯形OCDE=(OC+DE)OE=×(2+5)×9=,
S△DEB=BEDE=×4×2=4,
S△OBC=OCOB=×5×5=,
则S△BCD=S梯形OCDE﹣S△DEB﹣S△OBC=﹣4﹣=15.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,点P在对角线AC上,且PA=PD,⊙O是△PAD的外接圆.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若AC=8,tan∠BAC=,求⊙O的半径.
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【题目】阅读以下材料,并解决相应问题:
材料一:换元法是数学中的重要方法,利用换元法可以从形式上简化式子,在求解某些特殊方程时,利用换元法常常可以达到转化的目的,例如在求解一元四次方程,就可以令,则原方程就被换元成,解得 t 1,即,从而得到原方程的解是 x 1
材料二:杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就,在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现,它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列,下图为杨辉三角形:
……………………………………
(1)利用换元法解方程:
(2)在杨辉三角形中,按照自上而下、从左往右的顺序观察, an 表示第 n 行第 2 个数(其中 n≥4),bn 表示第 n 行第 3 个数,表示第行第 3 个数,请用换元法因式分解:
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【题目】已知函数y=(n+1)xm+mx+1﹣n(m,n为实数)
(1)当m,n取何值时,此函数是我们学过的哪一类函数?它一定与x轴有交点吗?请判断并说明理由;
(2)若它是一个二次函数,假设n>﹣1,那么:
①当x<0时,y随x的增大而减小,请判断这个命题的真假并说明理由;
②它一定经过哪个点?请说明理由.
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【题目】如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC 的三个顶点的坐标分别 A(-3,4)B(-5,2)C(-2,1)
(1)画出 △ABC关于y 轴的对称图形 △A1B1C1;
(2)画出将△ABC 绕原点 O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2 ;
(3)求(2)中线段 OA扫过的图形面积.
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【题目】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,E、M分别为AB、AC上的点,连接CE,BM交于点G,且BM⊥CE,O为AC的中点,连接BO交CE于点N.
(1)如图①,若AB=6,2MO=AM,求BM的长;
(2)如图②,连接OG、AG,若AG⊥OG,求证:AC=BG.
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【题目】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知正比例函数 y1=﹣2x 的图象与反比例函数 y2=的图象交于 A(﹣1,a),B 两点.
(1)求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标;
(2)观察图象,请直接写出满足 y≤2 的取值范围;
(3)点 P 是第四象限内反比例函数的图象上一点,若△POB 的面积为 1,请直接写出点 P的横坐标.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,∠CBD=30°,则DF的长为( )
A. B. C. D.
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