Question

2．抛物线的对称轴是直线x=1.5，且图象过点A（0，-4）和点B（4，0），
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，M是线段BC上的任意一点，当△MAB为等腰三角形时，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法把A（0，-4）和B（4，0），即对称轴x=1.5代入解析式，解三元一次方程组可得抛物线的解析式；
（2）根据对称性易求C的坐标，M是线段BC上的任意一点，当△MAB为等腰三角形时，分类讨论：MA=MB或BA=BM．

解答 解：（1）设此二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
把A（0，-4）和B（4，0），即对称轴x=1.5代入解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{0=16a+4b+c}\\{1.5=-\frac{b}{2a}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
故y=x²-3x-4；
（2）∵对称轴是直线x=1.5，且图象过点B（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为C的坐标为（-1，0），
∵M是线段BC上的任意一点，△MAB为等腰三角形，
当MA=MB时，M（0，0）；
当BA=BM时，BM=BA=4$\sqrt{2}$，则M（-4$\sqrt{2}$+4，0）；
当AB=AM时，M（-4，0）（舍去）
∴M点的坐标为（0，0）或（-4$\sqrt{2}$+4，0）．

点评 此题主要考查了二次函数的性质以及待定系数法求解析式，正确掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键，运用数形结合分类讨论是本题难点．