Question

如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B，已知抛物线y=

1

6

x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
（2）求出抛物线的顶点D的坐标，并确定与圆M的位置关系；
（3）点Q（8，m）在抛物线y=

1

6

x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据⊙M圆心的坐标和半径的长，可表示出A、B两点的坐标，代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式，也就能得到点C的坐标．
（2）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可求得点D的坐标；由于抛物线和圆都是轴对称图形，那么点D、M都在抛物线的对称轴上，可根据圆的半径来判定点D和圆M的位置关系．
（3）根据抛物线的解析式，即可确定点Q的坐标；由于A、B关于抛物线对称轴对称，那么连接QA，直线QA与抛物线对称轴的交点即为所求的点P，此时PQ+PB的最小值为QA的长，根据Q、A的坐标即可求得QA的长，由此得解．

解答：解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵抛物线y=

1

6

x2+bx+c过点A和B，则：

1 6 ×22+2b+c=0 1 6 ×62+6b+c=0

，
解得

b=- 4 3 c=2

；
则抛物线的解析式为y=

1

6

x2-

4

3

x+2．
故C（0，2）．（3分）
（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（4分）

（2）由（1）得：y=

1

6

x2-

4

3

x+2=

1

6

（x-4）²-

2

3

；
故D（4，-

2

3

），D点在圆内．（7分）

（3）如图，抛物线对称轴l是x=4；
∵Q（8，m）抛物线上，
∴m=2；
过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=

AK2+QK2

=2

10

；（10分）
又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2

10

．（12分）

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、顶点坐标的求法以及平面展开-最短路径等相关知识，难度适中．