Question

如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，）（其中m＞0），在BC边上选取适当的点E和点F，将△OCE沿OE翻折，得到△OGE；再将△ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到△AGF，且∠OGA=90度．
（1）求m的值；
（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）．

Answer 1

解：（1）解法一：∵B（m，），
由题意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=m
∵∠OGA=90°，
∴OG²+AG²=OA²
∴2+2=m²．
又∵m＞0，
∴m=2．
解法二：∵B（m，），
由题意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=m
∵∠OGA=90°，
∴∠GOA=∠GAO=45°
∴m=OA==2．

（2）解法一：过G作直线GH⊥x轴于H，
则OH=1，HG=1，故G（1，1）．
又由（1）知A（2，0），
设过O，G，A三点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c
∵抛物线过原点，
∴c=0．
又∵抛物线过G，A两点，
∴，
解得，
∴所求抛物线为y=-x²+2x，
它的对称轴为x=1．
解法二：过G作直线GH⊥x轴于H，
则OH=1，HG=1，故G（1，1）．
又由（1）知A（2，0），
∴点A，O关于直线l对称，
∴点G为抛物线的顶点．
于是可设过O，G，A三点的抛物线解析式为y=a（x-1）²+1，
∵抛物线过点O（0，0），
∴0=a（0-1）²+1，
解得a=-1，
∴所求抛物线为y=（-1）（x-1）²+1=-x²+2x
它的对称轴为x=1．

（3）答：存在
满足条件的点P有（1，0），（1，-1），（1，1-），（1，1+）．
分析：（1）根据折叠的性质可知：AB=AG=OG=，而OA=BC=m，那么在直角三角形OGA中即可用勾股定理求出m的值．
（2）由于△OGA是个等腰直角三角形，已知了OA的长，因此不难求出G点的坐标，根据O，A，G三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）本题要分情况进行讨论：
①当OP=PG，那么P点为OG的垂直平分线与抛物线对称轴的交点．因此P与H重合，P点坐标为（1，0）
②当OP=OG，那么△OPG为等腰直角三角形因此GH=PH=1，P点坐标为（1，-1）．
③当GP=OG时，GP=，因此P点的坐标为（1，1+），（1，1-）．（在G点上下各有一点）

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、三角形全等等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．