Question

【题目】小明学习了特殊的四边形---平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 ．

(2)性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系．

(3)问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．

①求证：四边形BCGE为垂美四边形；

②直接写出四边形BCGE的面积．

Answer 1

【答案】（1）菱形、正方形；（2）；（3）①见详解；②.

【解析】

（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；

（2）利用勾股定理，分别求出，，，，然后即可得到结论；

（3）①连接CG、BE，证出∠GAB=∠CAE，由SAS证明△GAB≌△CAE，得出BG=CE，∠ABG=∠AEC，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出∠BNM=90°，得出BG⊥CE即可；

②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合面积公式计算即可．

解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，

∴菱形和正方形一定是垂美四边形；

故答案为：菱形、正方形；

（2）设AC与BD相交于点O，

由勾股定理，得：

，；

，；

∴，

；

∴；

（3）①证明：连接CG、BE，如图2所示：

∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，

∴∠F=∠CAG=∠BAE=90°，FG=AG=AC=CF，AB=AE，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，

即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴BG=CE，∠ABG=∠AEC，

又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，

∴∠ABG+∠BMN=90°，

∴∠BNM=90°，

∴BG⊥CE，

∴四边形BCGE为垂美四边形；

②解：∵FG=CF=AC=4，∠ACB=90°，AB=5，

∴BC=，

∴BF=BC+CF=7，

在Rt△BFG中，BG=，

∴CE=BG=，

∵四边形BCGE为垂美四边形，

∴四边形BCGE的面积=△BCE的面积+△GCE的面积

=

=

=

=；