Question

已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（　　）

• A．

  1

  2011

• B．

  1

  2012

• C．

  1

  22011

• D．

  1

  22012

Answer 1

分析：根据已知条件，首先可知各三角形都相似，然后根据题意可得规律：第n个三角形与原三角形的相似比为1：2^n-1，又由△ABC周长为1，即可求得第2012个三角形的周长．

解答：解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，
∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，
∴它们相似，且相似比为1：2，
同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，
即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：2²，
以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：2²⁰¹¹，
∵△ABC周长为1，
∴第2012个三角形的周长为 1：2²⁰¹¹．
故选C．

点评：此题考查了相似三角形的性质与三角形中位线的性质．此题难度较大，解题的关键是找到规律：第n个三角形与原三角形的相似比为1：2^n-1．