Question

已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．
问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．

Answer 1

证明：连接DE、EF、DF．
（1）当点G在线段BE上时，如图①，
在EF上截取EH使EH=BG．
∵D、E、F是等边△ABC三边中点，
∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD．
在△DBG和△DEH中，
∴△DBG≌△DEH．
∴DG=DH．
∴∠BDG=∠EDH．
∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°，
∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°
∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．

（2）当点G在射线EC上时，如图②，
在EF上截取EH使EH=BG．
由（1）可证△DBG≌△DEH．
∴DG=DH，∠BDG=∠EDH．
∵∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°，
∴∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°．
∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．

（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．
综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．
分析：连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH=BG．由D、E、F是等边△ABC三边中点，可得△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD，可证明△DBG≌△DEH，然后即可证明；
（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．可得DG=DH，∠BDG=∠EDH．由∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°，可得∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°，即可证明．
（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是巧妙地作出辅助线进行解题．