Question

如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件求∠BIC的度数，
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BIC=

 

；
（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BIC=

 

；
（3）若∠A=56°，则∠BIC=

 

；
（4）若∠BIC=100°，则∠A=

 

；
（5）通过以上计算，探索出您所发现规律：∠A与∠BIC之间的数量关系是

 

．

Answer 1

分析：（1）已知∠ABC=50°，∠ACB=80°，则角平分线所成的角度数为其度数的一半．然后根据三角形的内角和为180度求出∠CIB的度数．
（2）已知∠ABC+∠ACB=116°，∠ICB=

1

2

∠ACB，∠IBC=

1

2

∠ABC，∠ICB+∠IBC=

1

2

（∠ABC+∠ACB），然后根据三角形内角和为180度，求出∠CIB的度数．
（3）由于∠A=56°，则根据三角形内角和为180°得∠ABC+∠ACB的度数，然后根据分析（2）的方法求出∠CIB的度数．
（4）已知∠BIC=100°，则根据三角形内角和为180°得到∠ICB+∠IBC的度数，而∠ABC，∠ACB分别为∠IBC、∠ICB的二倍，所以可得到∠ABC+∠ACB的度数．然后再有三角形内角和为180度得到∠A的度数．
（5）对于△ICB：∠ICB=180-（∠ICB+∠IBC），∠ICB+∠IBC=

1

2

（∠ABC+∠ACB）；对于△ABC：∠ABC+∠ACB=180-∠A，将其代入上一个等式即可得出结果．

解答：解：（1）∠ICB=

1

2

∠ACB=40°∠IBC=

1

2

∠ABC=25°∠CIB=180°-40°-25°=115°；

（2）∠ICB+∠IBC=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=58°，∠CIB=180°-58°=122°；

（3）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=112°，∠ICB+∠IBC=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=56°，∠CIB=180°-56°=118°；

（4）∠ICB+∠IBC=180°-∠CIB=80°，∠ABC+∠ACB=2（∠ICB+∠IBC）=160°，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=20°；

（5）∠BIC=180°-（∠ICB+∠IBC）而∠ICB+∠IBC=

1

2

（∠ABC+∠ACB）；∠ABC+∠ACB=180-∠A所以∠BIC=180°-

1

2

（180-∠A）=90°+

1

2

∠A．

点评：本题解题关键是得到∠ICB与∠IBC的和，在求解过程中主要用到定理：三角形的内角和为180°