Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，m）与点B（2，n）在抛物线y=x²-3x上．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求三角形AOB的面积；
（3）点M在抛物线y=x²-3x的对称轴上，连接AM，OM，当线段AM+OM最短时，请求出最短距离及点M的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线OM与抛物线交于点P（点P不与点O重合）．点E在坐标平面内，当△EOP∽△AOB时，请接写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得点A和点B的坐标，然后设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入求解即可；
（2）先求得直线AB与x轴的交点（C点）的坐标，然后依据△AOB的面积=△AOC的面积+△OBC的面积求解即可；
（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D，连结AD交对称轴与点M．先求得点D的坐标，然后再求得AD的解析式，将x=1.5代入直线AD的解析式可求得M的纵坐标，然后依据轴对称的性质可知当点A、M、D在一条直线上时，AM+OM有最小值，最小值为AD的长．
（4）先根据题意画出图形，过点E作ED⊥x轴，过点E′作E′D′⊥y轴．先求得点P的坐标，然后依据两点间的距离公式求得OA、OB，OP的长，然后利用相似三角形的性质可求得OE的长，因为∠EOD=∠AOF，依据锐角三角函数的定义可求得OD、DE的长，从而得到点E的坐标．

解答 解：（1）将x=-1代入抛物线的解析式得：y=4，
∴A（-1，4）．
将x=2代入抛物线的解析式得：y=-2．
∴B（2，-2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{2k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=2．
∴直线AB的解析式为y=-2x+2．

（2）如图1所示：

令y=0得：-2x+2=0，解得：x=1，
∴C（1，0）．
∴△ABO的面积=△AOC的面积+△OCB的面积=$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×1×2=2+1=3．

（3）如图2所示：连结AD交对称轴与点M．

∵点O与点D关于抛物线的对称轴对称，
∴OM=MD．
∴AM+OM=AM+MD．
∴当点A、M、D在一条直线上时，AM+OM有最小值．
令y=0得：x²-3x=0，解得x=0或x=3，
∴D（3，0）．
设AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3．
∴直线AD的解析式为y=-x+3．
抛物线的对称轴=$\frac{3}{2×1}$=1.5．
将x=1.5代入得：y=1.5．
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
由两点间的距离公式可知AM+OM的最小值=AD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

（4）如图3所示：过点E作ED⊥x轴，过点E′作E′D′⊥y轴．

设OP的解析式为y=kx，将点M的坐标代入解得k=1，
∴直线OP的解析式为y=x，
将y=x与y=x²-3x联立，解得：x=4，y=4或x=0，y=0，
∴点P的坐标为（4，4）．
依据连点间的距离公式可知：OA=$\sqrt{17}$，OB=2$\sqrt{2}$，AB=3$\sqrt{5}$，OP=4$\sqrt{2}$．
∵当△EOP∽△AOB时，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OB}{OP}$，即$\frac{\sqrt{17}}{OE}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$，解得：OE=2$\sqrt{17}$．
∵∠EOD=∠AOF，
∴DO=2$\sqrt{17}$×$\frac{4}{\sqrt{17}}$=8，DE=2$\sqrt{17}$×$\frac{1}{\sqrt{17}}$=2．
∴E（-8，-2）．
同理：当点E位于E′处时，OD′=8，D′E′=2．
∴E′（-2，-8）．
综上所述，点E的坐标为（-8，-2）或（-2，-8）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，分割法求三角形的面积、轴对称路径最短问题以及相似三角形的性质性质，依据相似三角形的性质求得OE的长是解题的关键．