Question

6．已知，如图，△ABC中，∠C=90°，E为BC边中点．
（1）尺规作图：以AC边为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，标上相应的字母，可不写作法）；
（2）连结DE，求证：DE为⊙O的切线；
（3）若AD=4，BD=$\frac{9}{4}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）作AC的垂直平分线，垂足为O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）如图2，连结OD，CD，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，再根据斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=EC=BE，则利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，加上∠3=∠4，则∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是可根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线；
（3）证明Rt△BDC∽Rt△BCA，利用相似比计算出BC=$\frac{15}{4}$，然后利用斜边上的中线等于斜边的一半即可得到DE的长．

解答 （1）解：如图1，

（2）证明：如图2，连结OD，CD，

∵AC边为直径，
∴∠ADC=90°，
而E为BC边中点，
∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线，
∴DE=EC=BE，
∴∠1=∠2，
∵OC=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：∵∠DBC=∠CBA，
∴Rt△BDC∽Rt△BCA，
∴BC：AB=BD：BC，即BC：（4+$\frac{9}{4}$）=$\frac{9}{4}$：BC，
∴BC=$\frac{15}{4}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．