已知抛物线与轴交于点,点是抛物线上的点,且满足∥轴,点是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的对称轴及点坐标;
(2)若抛物线经过点,求抛物线的表达式;
(3)对(2)中的抛物线,点在线段上,若以点、、为顶点的三角形与相似,试求点的坐标.
(1)
(2)
(3)点的坐标为或
解析:解(1)由题意得,,∴对称轴为直线;…………………(2分)
∵点,点是抛物线上的点,∥轴,
∴被直线垂直平分,∴.………………………………………(1分)
(2)∵抛物线经过点,,所以有,……………(2分)
解得,∴抛物线的表达式为.………………………(1分)
(3)∵抛物线的对称轴为直线,∴,…………………………(1分)
过点作轴,垂足为点,设对称轴与交于点.……………(1分)
∵∥轴,∴,∴,
又∵,,∴,∴∽,…………(1分)
∴,………………………………………………………………(1分)
当∽时,有,
∵,∴,∴;…………………(1分)
当∽时,有,
∴,∴,………………………………………………………(1分)
综上所述满足条件的点的坐标为或.
科目:初中数学 来源: 题型:
在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于点、(点在点的左侧),与轴的正半轴交于点,顶点为.
(Ⅰ)若,,求此时抛物线顶点的坐标;
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC,求此时直线的解析式;
(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC,且顶点恰好落在直线上,求此时抛物线的解析式.
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如图,已知抛物线与轴交于点,,与y轴交于点.
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)设直线CD交轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由
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如图,已知抛物线与轴交于点,且经过两点,点是抛物线顶点,是对称轴与直线的交点,与关于点对称.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点,使与相似.若有,请求出所有符合条件的点的坐标;若没有,请说明理由.
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