Question

如图1，已知抛物线y=－x²+bx+c经过点A（1,0），B（－3,0）两点，且与y轴交于点C.

(1) 求b，c的值。
(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由.
(3) 如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B,C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

Answer 1

(1) ；（2）点P坐标为(，)，最大＝；（3） (，)  .

试题分析：(1)将A、B两点坐标代入即可求出；
(2)假设存在一点P（x，），则△PBC的面积可表示为.从而可求出△PBC的面积最大值及点P的坐标；
(3)根据题意易证，所以，当OE最小时，△OEF面积取得最小值，点E在线段BC上, 所以当OE⊥BC时，OE最小此时点E是BC中点，因此 E(，)  .
试题解析：(1)  b=－2，c=" 3"
(2)存在。理由如下：
设P点
∵
当时，   ∴最大＝ 
当时，
∴点P坐标为(，)
(3)∵∴,而, ,
∴, ∴ 
∴ 
∴当最小时，面积取得最小值.
∵点在线段上,  ∴当时，最小.
此时点E是BC中点
∴ (，).